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素数分布之道(原创彭秋年)

内容简介:㈠创建能量参照法生成素数分布新论;㈡论各种奇素数组合的分布;㈢论偶数u的素数分解对的分布;㈣论幂函数中的素数分布;㈤论梅森素数的分布.

关键词:能量参照法、素数分布新论.

㈠、创建能量参照法生成素数分布新论.

首先陈述素数定理:如果以q表示自然数s以内的素数数量,则q=s/㏑s.

(s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算更精确)

当s足够大时,显然满足:

(s/㏑s)/(1/㏑3+1/㏑4…+1/㏑s)→1.

如果集合X是集合N(N=全体自然数)的子集.

且令:s以内集合X中大于2的元素依次是x?,x?…x?;定义s以内集合X中元素的能量和为e=1/㏑x?+1/㏑x?…+1/㏑x?.

则有:s以内集合N中元素的能量和e、素数数量q均接近于s/㏑s,即q=e=s/㏑s.

以集合X={x|x=3a+1,(a∈N)}为例展开论述.

且令:集合X、N中与p?互素的元素的分布比例分别为y?、z?. (i∈N,p?=2,i>0时,p?表示第i个奇素数)

则有:i=1时,y?=1,z?=2/3;

i≠1时,y?=z?=(p?-1)/p?;

集合X、N中与p?p?…p?互素的元素的分布比例分别为y?y?…y?、z?z?…z?.

且令:r?=(y?y?…y?)/(z?z?…z?).

则有:r?=1;i>0时,r?=1/(2/3)=3/2.

分析:s以内集合X中的元素相对于集合N中的元素,它们成为素数的能力强度其参照值是r=3/2;简述为集合X存在参照常数r=3/2.

且令:s以内集合X中元素的能量和为e.

则有:e=s/(3㏑s).

分析:s以内集合X中的素数数量q等于能量和e与参照常数r之积,即q=er=s/(2㏑s).

以此类推

且令:P={全体素数};

X={x|x=pa+y,(a∈N)}.

(p∈P;y=1,2…p-1)

则有:p、y确定时,s以内集合X中素数数量分布的计算公式是q=er=s/[(p-1)㏑s].

且令:P?=P∩X.

则有:s以内集合P?、P中元素数量分布之比为1/(p-1).

定义:使用能量和e与参照值r的概念对素数分布进行分析探讨的方法称为能量参照法.

素数定理与能量参照法结合为素数分布新论.

如果集合X是集合N(N=全体自然数)的子集;集合X中与p?、p?p?…p?互素的元素的分布比例分别为y?、y?y?…y?. (i∈N)

且令:z?=(p?-1)/p?;r?=(y?y?…y?)/(z?z?…z?).

如果存在n使得:i>n,所有的r?都接近于r;则称集合X存在参照常数r.

且令:s以内集合X中元素的能量和为e,素数元素的数量为q. (s足够大)

则有:q=er.

㈡、论各种奇素数组合的分布.

①、将奇素数组合分为两种类型.

类型一、非动态素数链.

如果序列U={u?,u?+u?,… u?+u?…+u?}中的元素除以某个奇素数p,所得互异的正整数余数为1,2…p-1. (u?为正偶数,i=1,2…n)

且令:序列A={a,a+u?,a+u?+u?,… a+u?+u?…+u?}. (a为奇素数)

则有:序列A中至少有一个数能够被p整除.

当序列A中的元素均为素数时,则称其为加u?加u?…加u?型素数链(或非动态素数链).

序列A中的元素包含p时才有可能均为素数,使得序列A能够包含p的a值数量有限.

因此,任一型号的非动态素数链数量有限.

类型二、动态素数链.

如果序列U={u?,u?+u?,… u?+u?…+u?}中的元素除以任意的素数p,所得互异的正整数余数的数量少于p-1个.

(u?为正偶数,i=1,2…n)

且令:序列A={a,a+u?,a+u?+u?,… a+u?+u?…+u?}. (a为奇素数)

当序列A中的元素均为素数时,则称其为加u?加u?…加u?型素数链(或动态素数链).

且令:a,a+a?,a+a?,…a+a???均为素数.(2≤n<a,2≤a?<a?…<a???)

则有:a?,a?,…a???除以任意的素数p,所得互异的正整数余数的数量少于p-1个.

故a,a+a?,a+a?,…a+a???是动态素数链.

由此可知:任意n(n≥2)个互异且大于n的奇素数均可组成一条长度为n的动态素数链,几乎所有的奇素数组合都属于动态素数链.

②、以序列A={5,7,11,13}为例展开论述.

序列A={5,7,11,13}中相邻素数的间距依次是u?=2,u?=4,u?=2.

且令:P={全体素数};

Q?={x|x=a-2i,(a∈P)}. (i=1,2,3,4)

且令:R?=P∩Q?;S?=R?∩R?;

S?=R?∩R?;S?=R?∩R?;

S?=R?∩R?;T=R?∩R?∩R?.

则有:R?={3,5,11…};R?={3,7,13…};

R?={5,7,11…};R?={3,5,11…};

S?={5,11,17…};S?={7,13,37…};

S?={3,5,11…};S?={5,11,23…};

T={5,11,101…}.

[集合R?(i=1,2,3,4)分别由全体加2i型素数链的第一个元素组成;集合S?、S?、S?、S?分别由全体加2加4、加4加2、加2加6、加6加2型素数链的第一个元素组成;集合T由全体加2加4加2型素数链的第一个元素组成]

已知:s以内素数的分布密度是1/㏑s.

因此,s以内集合Q?(i=1,2,3,4)中元素的分布密度同样是1/㏑s.

又(s/㏑s)/(1/㏑3+1/㏑4…+1/㏑s)→1.

因此,s以内集合Q?(i=1,2,3,4)中元素的能量和为e=(s/㏑s)(1/㏑s)=s/㏑2s.

已知集合Q?={x|x=a-2,(a∈P)}={0,1,3…}.

且令:集合Q?中与p?互素的元素的分布比例为y?. (i∈N)

则有:y?=1;i>0时,y?=(p?-2)/(p?-1).

且令:z?=(p?-1)/p?;r?=(y?y?…y?)/(z?z?…z?).

则,

r?={(1/2)(3/4)(5/6)…[(p?-2)/(p?-1)]}/{(1/2)(2/3)(4/5)(6/7)…[(p?-1)/p?]}可化为式B与式B'如下:

式B、

r?=[(3/4)(3/2)][(5/6)(5/4)]…{[(p?-2)/(p?-1)][p?????/(p?????-1)]}[p?/(p?-1)].

式B'、

r?=(3/2)[(3/4)(5/4)][(5/6)(7/6)]…{[(p?-2)/(p?-1)][p?/(p?-1)]}.

式B中 p?/(p?-1)>1;

[(p?-2)/(p?-1)][p???/(p???-1)]>1.

(m=2,3…i)

因此,

r?>[(3/4)(3/2)][(5/6)(5/4)]…{[(p?-2)/(p?-1)][p?????/(p?????-1)]}.

式B'中 [(p?-2)/(p?-1)][p?/(p?-1)]<1. (m=2,3…i)

因此,

r?<(3/2)[(3/4)(5/4)][(5/6)(7/6)]…{[(p?????-2)/(p?????-1)][p?????/(p?????-1)]}.

经计算,r?=2,1.5,1.406,1.367,1.354…

当i=253时,1.3196<r?<1.3204;

随着i的不断增大,r?→1.3203236…

因此,r?→1.320(精确到千分位).

即,集合Q?存在参照常数r=1.32.

因此,s以内集合Q?中素数数量分布的计算公式是q=er=1.32s/㏑2s.

同理可证:集合Q?,Q?,Q?的参照常数依次是1.32,2.64,1.32.

因此,s以内加u(u=2,4,6,8)型素数链[集合R?(i=1,2,3,4)中元素]数量分布的计算公式依次是1.32s/㏑2s,1.32s/㏑2s,2.64s/㏑2s,1.32s/㏑2s.

且令:X={x|x=pa+y,(a∈N)};P?=X∩R?.

[p∈P,y∈N,0<y<p,y≠pa-u(u=2)]

则有:p、y确定时,s以内集合P?、R?中的元素数量分布之比为1/(p-2).

(p=2时,用1代替p-2)

且令:

R?'={x|x=a+6,(a∈R?)}={9,11,17…}.

已知:s以内集合R?中元素的分布密度是1.32/㏑2s. 因此,s以内集合R?'中元素的分布密度同样是1.32/㏑2s.

又(s/㏑s)/(1/㏑3+1/㏑4…+1/㏑s)→1.

因此,s以内集合R?'中元素的能量和为e=(s/㏑s)(1.32/㏑2s)=1.32s/㏑3s.

且令:集合R?'中与p?互素的元素的分布比例为y?. (i∈N)

则有:y?=1,y?=1;

i>1时,y?=(p?-3)/(p?-2).

且令:z?=(p?-1)/p?;r?=(y?y?…y?)/(z?z?…z?).

经计算,r?→2.165(精确到千分位).

即,集合R?'存在参照常数r=2.165.

因此,s以内集合R?'中素数数量分布的计算公式是q=er=2.86s/㏑3s;即,s以内加2加4型素数链(集合S?中元素)数量分布的计算公式是2.86s/㏑3s.

同理可证:s以内加4加2、加2加6、加6加2型素数链(集合S?、S?、S?中元素)数量分布的计算公式都是2.86s/㏑3s.

且令:X={x|x=pa+y,(a∈N)};P?=X∩S?.

[p∈P,y∈N,0<y<p,y≠pa-u(u=2,6)]

则有:p、y确定时,s以内集合P?、S?中的元素数量分布之比为1/(p-3).

(p=2,3时,用1代替p-3)

关于r?的计算谨作论述C(标识C备用):

在计算r?→1.32(n=1)及r?→2.165(n=2)的过程中发现,n为任意正整数时,r?={…[(p?-n-1)/(p?-n)]}/{(1/2)(2/3)(4/5)(6/7)…[(p?-1)/p?]}都能够类似地化为两个式子,且使得:一个式子里面从某一项开始,后面连续相乘的各项均趋近1且不小于1;另一个式子里面从某一项开始,后面连续相乘的各项均趋近1且不大于1.

因此,n为任意正整数,r?都将趋近于常数.

且令:

S?'={x|x=a+8,(a∈S?)}={13,19,25…}.

经计算,集合S?'存在参照常数r=1.451.

已知:s以内集合S?中元素的分布密度是2.86/㏑3s. 因此,s以内集合S?'中元素的分布密度同样是2.86/㏑3s.

又(s/㏑s)/(1/㏑3+1/㏑4…+1/㏑s)→1.

因此,s以内集合S?'中元素的能量和为

e=(s/㏑s)(2.86/㏑3s)=2.86s/㏑?s.

因此,s以内集合S?'中素数数量分布的计算公式是q=er=4.15s/㏑?s;即,s以内加2加4加2型素数链(集合T中元素)数量分布的计算公式是4.15s/㏑?s.

且令:X={x|x=pa+y,(a∈N)};P?=X∩T.

[p∈P,y∈N,0<y<p,y≠pa-u(u=2,6,8)]

则有:p、y确定时,s以内集合P?、T中的元素数量分布之比为1/(p-4).

(p=2,3时,用1代替p-4)

关于公式系数(例4.15)的计算谨作论述C':

且令:序列U={u?,u?+u?,u?+u?+u?}中的元素(即2,6,8)除以素数p?,所得互异的正整数余数为t?个. (i=0,1…m)

且令:a=(p?-t?-1)(p?-t?-1)…(p?-t?-1); b=p?p?…p?;d=(p?-1)(p?-1)…(p?-1).

则有:m足够大时,

ab3/d?=1.32*2.165*1.451=4.15.

③、以②类推论各种动态素数链的分布.

如果序列U={u?,u?+u?,… u?+u?…+u?}中的元素除以任意的素数p,所得互异的正整数余数的数量少于p-1个.

(u?为正偶数,i=1,2…n)

则有:s以内加u?加u?…加u?型动态素数链数量分布的计算公式是q=er=c?s/㏑??1s.

(s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算)

综合论述C、C',系数c?的计算方法如下:

且令:序列U中的元素除以素数p?,所得互异的正整数余数为t?个. (i=0,1…m)

且令:a=(p?-t?-1)(p?-t?-1)…(p?-t?-1);b=p?p?…p?; d=(p?-1)(p?-1)…(p?-1).

则有:m足够大时,

c?=ab?/d??1=n个常数之积=常数.

当㏑s>n+1时,c?s/㏑??1s是一个增函数,其值域为无穷大;因此,加u?加u?…加u?型动态素数链存在无穷多条.

继续探讨

经分析整理,n为正整数,可得以下结论:

1、s以内加2加4…加2n型动态素数链数量分布的计算公式是c?s/㏑??1s.

2、s以内连续n个加u型动态素数链数量分布的计算公式是c?s/㏑??1s. (假设与偶数u互素的最小素数为p,n≤p-2)

3、s以内加u?加u?…加u?型动态素数链数量分布的计算公式是c?s/㏑??1s.

[u?=m?(m-1),(m-1∈N+,a=1,2…n)]

4、假设区间[n,2n)(n>2)内存在t个素数,则该t个素数是一条长度为t的动态素数链;假设任意连续的n个自然数中,最长的动态素数链包含y个素数;n确定时,理论上能够通过有限个步骤的计算得到确定的t、y(且t≤y).

5、如果素数链的第一个元素在s以内,则定义该素数链在s以内;当n确定、s足够大时,(n+1)s以内每s个连续的自然数中接近存在s/㏑s个素数;因此,s以内加u?加u?…加u?(u?≤s,i=1,2…n)型动态素数链的数量总和接近于(s/㏑s)??1;因此,这些素数链数量分布的计算公式的系数总和接近于s?.

[依据系数c?的取值规律同样可证(略)]

关于动态素数链伸展性与对称性的简论.

且令:序列U={u?,u?+u?,… u?+u?…+u?}中的元素除以素数p,所得互异的正整数余数为a个;序列V={mu?,m(u?+u?),…m(u?+u?…+u?)}. (n、m∈N+)

则有:m被p整除时,序列V中的元素均被p整除;m与p互素时,序列V中的元素除以素数p,所得互异的正整数余数同样为a个.

且令:序列W={u?,u?+u???,… u?+u???…+u?};序列U中的元素除以素数p,所得余数依次组成序列X={x?,x?,…x?};序列W中的元素除以素数p所得余数依次组成序列K={k?,k?,…k?}.

则有:x?=k?;(x?+k???)除以p得到余数x?. (i=1,2…n-1)

因此,序列X、K中互异的正整数数量相等.

综合而论动态素数链的基本性质如下:

任一型号的动态素数链在自然数中的分布具有无穷性、谐和性、伸展性、对称性.

无穷性是指任一型号的动态素数链其数量都是无穷的.

谐和性是指任一型号的动态素数链都对应一个公式,其数量的分布状态接近于该公式的增长趋势. 同时存在更深层次的谐和性,且令全体加u?加u?…加u?型动态素数链的第一个元素组成集合P';且令X={x|x=pa+y,(a∈N)};[p∈P,y∈N,0<y<p,y≠pa-u(u=u?,u?+u?,… u?+u?…+u?),p对应k个y值];P?=P'∩X;则当p、y确定时,s范围内集合P?、P'中元素数量分布之比为1/k.

伸展性是指将任一型号的动态素数链其相邻素数的间距统一放大到m(m∈N+)倍,即可得到m倍间距型号的动态素数链,s以内两者数量分布之比为常数.

对称性是指对于任一型号的动态素数链,都将存在与其相邻素数的间距对称的动态素数链,s以内两者数量分布之比为1.

㈢、论偶数u的素数分解对的分布.

且令:u(u>1000)为偶数;√u以内存在m个奇素数;X={x|x=u-a,(a∈P,a<u)}.

且令:集合X中与p?互素的元素的分布比例为y?;z?=(p?-1)/p?;r?=(y?y?…y?)/(z?z?…z?). (i=0,1…m)

则可推出r?→r;u=2?(n∈N)时,r=1.32;u存在奇素因数d?,d?…d?时,r=1.32[(d?-1)(d?-1)…(d?-1)]/[(d?-2)(d?-2)…(d?-2)].

每个偶数u都对应一个参照常数r.(r≥1.32)

经分析,s(s≤u/2,s的下限<<u/2)以内集合X中元素的分布密度是1/㏑u.

又(s/㏑s)/(1/㏑3+1/㏑4…+1/㏑s)→1.

因此,s以内集合X中元素的能量和为

e=s/(㏑s㏑u).

因此,s以内使得a、u-a均为素数的a值数量分布的计算公式是q=er=rs/(㏑s㏑u).

{偶数u>1000,s≤u/2,s的下限<<u/2;u=2?(n∈N)时,r=1.32;u存在奇素因数d?,d?…d?时,r=1.32[(d?-1)(d?-1)…(d?-1)]/[(d?-2)(d?-2)…(d?-2)]}

当s=u/2时,可得偶数u的素数分解对数量的计算公式是rs/(㏑s㏑u)≈ru/(2㏑2u).

(u较小时,用㏑u-1.08代替㏑u计算)

依据该公式判断哥德巴赫猜想成立.

㈣、论幂函数中的素数分布.

①、论一次函数(等差数列)中的素数分布.

以集合X={x|x=10a+1,(a∈N)}为例展开论述.

且令:集合X中与p?互素的元素的分布比例为y?;z?=(p?-1)/p?. (i∈N)

则有:10的素因数为2、5,对应y?=y?=1;i≠0、2时,y?=z?=(p?-1)/p?;

且令:r?=(y?y?…y?)/(z?z?…z?).

则有:i>1时,r?=1/[(1/2)(4/5)]=5/2.

即,集合X存在参照常数r=5/2.

简述:10以内有4个正整数(1,3,7,9)与10互素,对应集合X存在参照常数r=10/4=5/2.

s以内集合X中元素的能量和为e=s/(10㏑s).

因此,s以内集合X中素数数量分布的计算公式是q=er=s/(4㏑s).

以此类推

且令:X={x|x=ma+n,(a∈N)};

m以内有u个正整数与m互素.

(m,n为互素的正整数,m>n)

则有:集合X存在参照常数r=m/u;s以内集合X中元素的能量和为e=s/(m㏑s).

因此,s以内集合X中素数数量分布的计算公式是q=er=s/(u㏑s).

(s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算)

②、论二次函数中的素数分布.

以集合X={x|x=a2+1,(a∈N)}为例展开论述.

且令:集合X中与p?互素的元素的分布比例为y?. (i∈N)

则有:y?=1/2;p?=4c+1时,y?=(p?-2)/p?;p?≠2、4c+1时,y?=1. (c∈N)

又,4以内共有2个正整数(1,3)与4互素.

因此,s以内有1/2的p?=4c+1.

且令:z?=(p?-1)/p?;r?=(y?y?…y?)/(z?z?…z?).

则有:i>167时,r?→1.36…

即,集合X存在参照常数r=1.36.

s以内集合X中元素的能量和为e=√s/㏑s.

因此,s以内集合X中素数数量分布的计算公式是q=er=1.36√s/㏑s.

以此类推

且令:A={x|x=a2+n,(a∈N};

B={x|x=a2+a+n,(a∈N};

C={x|x=(a2+a)/2+n,(a∈N}.(n∈Z)

则有:n确定时,s以内集合A、B、C中素数数量分布的计算公式都是q=er=r?k/㏑s.

[k表示s以内集合X(X=A,B,C)中正元素的数量,s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算]

集合A的参照常数r?的计算方法如下:

1、n=-b2(b∈N)时,集合A的表达式能够进行因式分解,r?=0.

2、n≠-b2(b∈N)时,令|4n|以内存在2u个正整数与|4n|互素,集合A的正元素中包含的与|4n|互素的素因数除以|4n|所得互异的余数(有且仅有u个)组成序列B={b?,b?…b?};

当p?整除|4n|时,令t?=1;当p?=|4n|c+b?时,令t?=(p?-2)/(p?-1);当p?不能整除|4n|且p?≠|4n|c+b?时,令t?=p?/(p?-1);s以内有1/2的p?=|4n|c+b?;i足够大时,r?=t?t?…t?=常数.(i∈N,c∈N,v=1,2…u)

另外,如果m=nb2(b∈N+);b不存在与|4n|互素的奇素因数,则r?=r?;b存在与|4n|互素的奇素因数d?,d?…d?,当d?=|4n|c+b?时,令k?=(d?-1)/(d?-2),当d?≠|4n|c+b?时,令k?=(d?-1)/d?,则r?=r?k?k?…k?. (i=1,2…x;c、b?同上)

例如:

n=7时,|4n|=28,28以内存在12个正整数与28互素,集合A的正元素中包含的与28互素的素因数除以28所得互异的余数(有且仅有6个)组成序列B={b?,b?…b?}={1,9,11,15,23,25};

28的素因数为p?=2、p?=7,令t?=t?=1;当p?=28c+b?时,令t?=(p?-2)/(p?-1);当p?≠2、7、28c+b?时,令t?=p?/(p?-1).(i∈N,c∈N,v=1,2…6)

又,s以内有1/2的p?=28c+b?;

经计算,i>167时,r?=t?t?…t?=1.96…

因此,集合A={x|x=a2+7,(a∈N}的参照常数为r?=1.96.

经粗略计算,r?=r?=1.36,r?=r?=0.71,r?=0.78,r?=0.52,r?=0.71,r?=1.96,r?=r??=r??=0,r??=r??=1.89,r??=1.38,r??=1.78,r??=1.04,r??=0.75.

(连续足够多个r?的均值为1)

集合B的参照常数r?的计算方法如下:

1、n为偶数时,集合B中的元素均为偶数,r?=0.

2、n为奇数时,令|4n-1|以内存在2u个正整数与|4n-1|互素,集合B的正元素中包含的与|4n-1|互素的奇素因数除以|4n-1|所得互异的余数(有且仅有u个)组成序列B={b?,b?…b?};

当p?整除|4n-1|时,令t?=1;当p?=|4n-1|c+b?时,令t?=(p?-2)/(p?-1);当p?不能整除|4n-1|且p?≠|4n-1|c+b?时,令t?=p?/(p?-1);s以内有1/2的p?=|4n-1|c+b?;i足够大时,r?=2t?t?…t?=常数.(i∈N+,c∈N,v=1,2…u)

另外,如果|4m-1|=|4n-1|b2(b为正奇数);b不存在与|4n-1|互素的奇素因数,则r?=r?;b存在与|4n-1|互素的奇素因数d?,d?…d?,当d?=|4n-1|c+b?时,令k?=(d?-1)/(d?-2),当d?≠|4n-1|c+b?时,令k?=(d?-1)/d?,则r?=r?k?k?…k?. (i=1,2…x;c、b?同上)

经粗略计算,r?=1.56,r?=r??=r?=0,r?=1.01,r??=3.43,r??=1.61.

(连续足够多个r?的均值为1)

集合C的参照常数r?的计算方法如下:

1、n=-(b2+b)/2(b∈N)时,集合C的表达式偶数项与奇数项能够分开进行因式分解,r?=0.

2、n≠-(b2+b)/2(b∈N)时,令|8n-1|以内存在2u个正整数与|8n-1|互素,集合C的正元素中包含的与|8n-1|互素的奇素因数除以|8n-1|所得互异的余数(有且仅有u个)组成序列B={b?,b?…b?};

当p?整除|8n-1|时,令t?=1;当p?=|8n-1|c+b?时,令t?=(p?-2)/(p?-1);当p?不能整除|8n-1|且p?≠|8n-1|c+b?时,令t?=p?/(p?-1);s以内有1/2的p?=|8n-1|c+b?;i足够大时,r?=t?t?…t?=常数.(i∈N+,c∈N,v=1,2…u)

另外,如果|8m-1|=|8n-1|b2(b∈N+);b不存在与|8n-1|互素的奇素因数,则r?=r?;b存在与|8n-1|互素的奇素因数d?,d?…d?,当d?=|8n-1|c+b?时,令k?=(d?-1)/(d?-2),当d?≠|8n-1|c+b?时,令k?=(d?-1)/d?,则r?=r?k?k?…k?. (i=1,2…x;c、b?同上)

经粗略计算,r?=1.98,r?=r??=0,r??=2.35,r?=1.24.

(连续足够多个r?的均值为1)

综合而论

s以内集合X={x|x=k?a2+k?a+n,(a∈N}中素数数量分布的计算公式是q=er=r?k/㏑s.

(k?∈N+,k?∈Z,n∈Z,k表示s以内集合X中正元素的数量,s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算)

集合X的参照常数r?的计算方法如下:

1、集合X的表达式能够进行因式分解或者所有元素都被某个素数整除时(例如k?、k?为奇数,n为偶数时,所有元素都被2整除),r?=0.

2、当集合X不符合上述第1条;k?为偶数时,令A={x|x=a2+k?n-k?2/4,(a∈N)};k?、k?、n均为奇数时,令B={x|x=a2+a+k?n-(k?2-1)/4,(a∈N)};k?为奇数、k?为偶数时,令C={x|x=(a2+a)/2+k?n/2-(k?2-1)/8,(a∈N)};当k?=2?(m∈N)时,令b=1;当k?存在奇素因数d?,d?…d?,d?(i=1,2…x)整除k?时,令b?=d?/(d?-1),d?与k?互素时,令b?=(d?-1)/(d?-2),令b=b?b?…b?;则r?等于集合X对应的集合(A,B,C三者之一)的参照常数值乘以b.

(k?,k?不变,连续足够多个r?的均值为1)

③、论m次函数中的素数分布.

且令:X={x|x=k?a?+k???a??1…+k?a+n,

(a∈N)}. (m、k?∈N+;n、k?…k???∈Z)

则有:s以内集合X中素数数量分布的计算公式是q=er=r?k/㏑s.

(k表示s以内集合X中正元素的数量,s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算)

集合X的参照常数r?的计算方法如下:

1、集合X的表达式能够进行因式分解或者所有元素都被某个素数整除时,r?=0;否则,按2、3条计算,r?>0,集合X中素数无穷多.

2、集合X中的正元素除以p?所得余数呈现周期性分布规律,周期长度为p?;每个素数都对应一个余数周期,这些周期内最多有m个0,最少则无0,平均为一个0;令p?对应的余数周期中有d?个元素与p?互素;令t?=d?/(p?-1);i足够大时,r?=t?t?…t?=常数. (i∈N)

3、第2条是关于集合X的r?值的直接计算法,前面计算表达式为二次函数的集合X的r?值用的是间接计算法,关于计算表达式为二次以上函数的集合X的r?值的间接计算法尚待探讨.

(m,k?…k?不变,连续足够多个r?的均值为1)

另外,当集合X的表达式中某些项的系数不为整数时,如果集合X中的正元素分布符合上述第2条,则集合X的r?值计算方法同上.

㈤、论梅森素数的分布.

型如2?-1(a∈N+)的素数称为梅森素数.

且令:集合X={x|x=2?-1,(a∈N+)}

={1,3,7,15,31,63,127,255…}.

且令:集合X中的元素依次是x?,x?,x?…

则有:x???=2x?+1;x??=2??-1=(2?-1)

[2???1??+2???2??…+2?+1]. (n、m∈N+)

因此,n为合数时,x?同样为合数.

且令:集合X中的元素除以某个奇素数p所得余数依次组成序列K={k?,k?,k?…}.

则有:k?≠p-1;

2k?+1<p时,k???=2k?+1;

2k?+1≥p时,k???=2k?+1-p.

因此,序列K中互异的元素小于p个,连续p个元素中将存在相同的元素.

且令:k?=k?. (n<m,m-n<p)

则有:k?=k???????. (i∈N+)

因此,序列K中的元素存在周期性分布规律;其周期长度小于p,周期内的元素互异,第一个元素是1,最后一个元素是0.

当m∈P,n∈N+时,集合X中的元素满足:当且仅当m=2时,第mn个元素能被3整除;当且仅当m=3时,第mn个元素能被7整除;当且仅当m=5时,第mn个元素能被31整除;当且仅当m=7时,第mn个元素能被127整除;当且仅当m=11时,第mn个元素能被23、89整除 …

分析整理,可按下述方法设定:

1、当集合X中被p?(p?=5,11,13,17,19…)整除的所有元素都能够被某个小于p?的素数整除时,这些素数对应y?=1.

2、当p?(p?=2,3,7,23,31…)不是第1条中括号内的素数时,且令集合X中与p?互素的元素的分布比例为y?.

则有:y?=1或者y?=(p-1)/p.

(p∈P,p<p?,所有y?≠1的值互异)

且令:z?=(p?-1)/p?;r?=(y?y?…y?)/(z?z?…z?).

则有:所有的r?>1. (猜测i足够大时,r?→2)

经计算,s以内集合X中元素的能量和为e=㏑㏑s/㏑2;因此,s以内梅森素数的数量接近或大于㏑㏑s/㏑2;存在无穷多个梅森素数;如果猜测成立,则s(足够大)以内梅森素数的数量接近于2㏑㏑s/㏑2.

同理可证:

s以内斐波那契数列中的素数数量接近或大于1.5㏑㏑s/㏑g. [g=(1+√5)/2=1.618]

后记(厚寄)

十年磨一剑,使命在心间。开创新理论,照见无穷远。学术路漫长,真理待检验。全网觅知音,携手共发展。

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